Аннотации докладов

Сергей Николаевич Давыдов (ВШЭ, Сколтех)
Стабильность для представлений спин-симметрической группы

Классическая теорема Мурнагана утверждает, что тензорные произведения неприводимых представлений симметрической группы имеют стабильное разложение при стремлении длин первых строк диаграмм Юнга к бесконечности. Аналогичный результат имеет место для отрицательных супермодулей спин-симметрической группы. Эта группа является двулистным накрытием симметрической и классифицирует её проективные представления. Я расскажу об этой группе и её теории представлений, а также о том, как одно из доказательств теоремы Мурнагана обобщается на случай спин-симметрической группы.

Алексей Владимирович Устинов (ВШЭ)
Последовательности Сомоса

Для целого числа \(k \ge 4\) последовательность Сомоса-\(k\) — это последовательность, порожденная квадратичным рекуррентным соотношением вида $$s_{n+k}s_n=\sum_{j=1}^{[k/2]}\alpha_j s_{n+k-j}s_{n+j},$$ где \(\alpha_j\) — константы, а \(s_0\), …, \(s_{k-1}\) — начальные условия.

Среди всех последовательностей Сомоса выделяется важный подкласс, обладающих различными нетривиальными свойствами. Это подкласс последовательностей конечного ранга. Последовательность \(\{s_n\}_{n=-\infty}^\infty\) имеет (конечный) ранг \(r\), если максимальный ранг двух бесконечных матриц $$\left.(s_{m+n}s_{m-n})\right|_{m,n=-\infty}^\infty, \qquad \left.(s_{m+n+1}s_{m-n})\right|_{m,n=-\infty}^\infty$$ равен \(r\).

Если \(r=2\), то общий член последовательности Сомоса может быть выражен в терминах эллиптической функции. За каждой такой последовательностью стоит эллиптическая кривая. Общую последовательность конечного ранга можно рассматривать как последовательность, скрывающую за собой более сложную теорему сложения.

В докладе будет дан обзор результатов, связанных с последовательностями Сомоса.

Виктор Александрович Петров (СПбГУ)
Мотивы Чжоу некоторых многообразий Мукаи

Доклад основан на совместной работе с Д. А. Ривиным.

Среди многообразий Фано отдельный интерес представляют многообразия с небольшими размерностями когомологий. Мы рассматриваем случай трехмерного многообразия \(V_{22}\), которое имеют такие же когомологии, как проективное пространство, и четырехмерного многообразия \(V_{18}\), которое имеет такие же когомологии, как четырехмерная квадрика. Поскольку эти многообразия могут иметь деформации, мы рассматриваем многообразия с действием \(\mathbb{G}_m\) в случае \(V_{22}\) (в частности, в этот случай попадает многообразие Мукаи–Умемуры) и многообразие \(V_{18}^s\), которое имеет наибольшую возможную группу автоморфизмов, а именно, \(GL_2 \rtimes \mathbb{Z}/2\). Последнее можно реализовать также как гиперплоское сечение проективного однородного многообразия \(G_2/P_2\) (тогда как \(G_2/P_1\) изоморфно пятимерной квадрике). Из наличия \(\mathbb{G}_m\)-действия стандартной техникой Бялыницки-Бирула несложно доказать, что мотив Чжоу этих многообразий раскладывается в сумму мотивов Лефшеца.

Мы рассматриваем скрученные формы этих многообразий над произвольным полем характеристики \(0\). В случае \(V_{18}^s\) их еще можно описать как некоторые гладкие эквивариантные компактификации \(U_2\)-торсора, где \(U_2\) обозначает унитарную группу (тогда как в случае \(V_{22}\) получается компактификация фактора \(PGL_2\)-торсора по группе икосаэдра).

Основные результаты следующие:

Теорема. Мотив Чжоу скрученной формы многообразия типа \(V_{22}\) с действием \(\mathbb{G}_m\) изоморфен мотиву Чжоу трехмерной норменной квадрики.

Теорема. Мотив Чжоу скрученной формы многообразия \(V_{18}^s\) изоморфен мотиву Чжоу некоторой \(4\)-мерной квадрики.

Заметим, что Бонне доказал изоморфизм мотивов скрученных форм многообразий \(G_2/P_1\) и \(G_2/P_2\). Наш результат говорит, что мотивный изоморфизм имеет место и для их гладких гиперплоских сечений.

Михаил Анатольевич Цфасман (МФТИ, НМУ)
Сильно вырожденные пересечения квадрик

Рассмотрим полное пересечение m квадрик V ⊂ Pⁿ, m<n. Линейные комбинации этих квадрик параметризуются пространством P^m−1. Если хотя бы один элемент этого семейства гладок, детерминантное многообразие (особые квадрики) H ⊂ P^m−1 есть гиперповерхность степени n+1. Если H является объединением гиперплоскостей, мы говорим, что V сильно вырождено. Рассмотрение таких многообразий возникло из задачи о распределении квадратичных вычетов в конечных полях, но, по моему мнению, их геометрия настолько специфична, что они заслуживают рассмотрения и над полем комплексных чисел. Я поговорю о геометрии сильно вырожденных пересечений квадрик, об их классификации и об их многообразии модулей. Основной пример, пересечения 3 квадрик в P⁴, т.е. кривые рода 5.