Аннотации докладов

Анна Алексеевна Тутубалина (НИУ ВШЭ)
Конструкции pipe dreams для многочленов Шуберта типов B, C и D

Многочлены Шуберта типов B, C и D были определены Билли и Хайманом в 1995 году. Они индексируются элементами групп Кокстера B_n=C_n и D_n и представляют классы Шуберта в когомологиях многообразия полных флагов над классическими группами SO_2n+1, Sp_2n+1 и SO_2n соответственно.

Известно, что стандартные многочлены Шуберта (они же многочлены Шуберта типа А) можно представить как суммы мономов по комбинаторным объектам, называемым pipe dreams (или rc-графами). В своем докладе я расскажу, про аналоги pipe dreams для B-, C- и D-многочленов Шуберта и с их помощью покажу, что многочлены Шуберта для грассмановых перестановок из B_n=C_n и D_n являются P- и Q-функциями Шура.

Дмитрий Всеволодович Адлер (НИУ ВШЭ)
Формы Якоби и системы корней

Формы Якоби впервые возникли в работах И.И. Пятецкого-Шапиро как коэффициенты в разложении в ряд Фурье модулярных форм Зигеля рода 2. Более подробно они были исследованы М. Айхлером и Д. Загье в их совместной работе "The Theory of Jacobi Forms", именно в этой работе возникло разделение форм Якоби на голоморфные, параболические и слабые, в зависимости от их разложения в ряд Фурье. В 1992 году К. Виртмюллер обобщил понятие форм Якоби, связав их с системами корней, и доказал, что для каждой классической системы корней, кроме E₈, соответствующая алгебра слабых форм Якоби полиномиальна. Однако в его работе не все образующие приведены в явном виде, который бывает полезен в приложениях. Например, в работах М. Бертолы при помощи образующих для систем корней A_n и B_n строятся плоские координаты на подходящих многообразиях Фробениуса.

В своём докладе я расскажу о формах Якоби для систем корней C_n, D_n и F₄ а также о некоторых интересных дифференциальных уравнениях, связывающих образующие этих алгебр.

Ольга Германовна Балканова (МИАН, ХО ИПМ ДВО РАН)
Теорема о простых геодезических

Теорема о простых геодезических на гиперболической поверхности M описывает асимптотику числа примитивных замкнутых геодезических на M, длина которых не превосходит X при X стремящемся к бесконечности. Как и в случае с теоремой о простых числах, основная открытая проблема — доказать наилучшую возможную оценку остатка. Я расскажу о последних результатах в этом направлении в случае, когда M — модулярная поверхность или многообразие Пикара.

Вадим Александрович Вологодский (НИУ ВШЭ)
Мотивная дзета-функция

В 1949 году Вейль ввел понятие дзета-функции алгебраического многообразия X над конечным полем F. Это - формальный ряд от переменной t, заданный формулой: Z(X,t) = Σ_n#(SⁿX)(F) tⁿ . Здесь SⁿX - симметрическая степень X, #(SⁿX)(F) — число F-точек на ней. Вейль доказал, что если X — кривая, то Z(X,t) — рациональная функция. Позже Дворк, а еще чуть позже, другим методом, Гротендик, обобщили это утверждение на многообразия высшей размерности. В 2000 году Капранов предложил заменить в определении дзета-функции целое число #(SⁿX)(F) на класс многообразия SⁿX в кольце Гротендика многообразий. Полученный ряд называется мотивной дзета-функцией X. Заметим, что поле F, над которым определено многообразие, теперь может быть произвольным.

Капранов доказал, что если X — кривая, на которой есть хотя бы одна F-точка, то мотивная дзета-функция рациональна. Я расскажу про эти результаты Вейля, Капранова, а также докажу, что мотивная дзета-функция рациональна для любой кривой. Доклад основан на совместной работе с Глебом Терентюком и Константином Шрамовым.